Условие.

Кто из учеников: Андрей, Витя, Саша и Дима играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

1.  Если Андрей или Витя играет, то Саша не играет;
2.  Если Витя не играет, то играют Саша и Дима;
3.  Саша играет

Решение.

Простые высказывания:

• А — «Андрей играет в шахматы»;
• В — «Витя играет в шахматы»;
• С — «Саша играет в шахматы»;
• D — «Дима играет в шахматы».

Запишем высказывания:

1. (A v В) -> ¬С; истина (1)
2. ¬В -> С & D; истина (1)
3. С. истина (1)

Тогда и произведение указанных сложных высказываний:

((A v В) -> ¬С) & (¬В -> С & D) & С

должно быть истинным (равным 1)

Упростим это выражение:

((A v В) -> ¬С) & (¬В -> С & D) & С = 1

Импликацию преобразуем в дизъюнкцию в обеих скобках

(¬(А v В) v ¬С) & (В v С & D) & С = 1

Раскрываем инверсию в 1-й скобке

((¬А & ¬В) v ¬С) & (В v С & D) & C = 1

Убираем лишние пары скобок и переставляем сомножители

(¬А & ¬В v ¬С) & C & (В v С & D) = 1

Раскрываем первые скобки (¬C & C = 0)

(¬А & ¬В & C v 0) & (В v С & D) = 1

Подставляем вместо С значение истина (1) и убираем слагаемое 0

(¬А & ¬В & 1) & (В v 1 & D) = 1

Убираем множитель 1

(¬А & ¬В ) & (В v D) = 1

Раскрываем правые скобки

(¬А & ¬В) & В v (¬А & ¬В) & D = 1

Убираем лишние пары скобок

¬А & ¬В & В v ¬А & ¬В & D = 1

Первое слагаемое равно 0 (т.к. ¬В & В = 0, значит и все произведение ¬А & ¬В & В равно 0)

Остается правое слагаемое ¬А & ¬В & D = 1

Чтобы произведение было равно 1 , нужно чтобы каждый множитель был равен 1 (истина)

¬А = 1 следовательно А = 0

¬В = 1 следовательно В = 0

D = 1

Ответ задачи:

• Андрей и Витя не играют в шахматы,
• Саша (по условию задачи) и Дима играют

mmx©2012